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Rational P20080923


假設 k 為某常數,。若 ,則 k 必為 0 對嗎?

[解答]
擁有這樣性質的 k 必定大於或等於 0,因為如果 k 小於 0 的話,那麼我們可以設 x = 0,此時不可能可以找到有理數 y ,使得 。所以我們下面的討論分成兩條路: k > 0 k = 0

首先,我們先假設 k > 0。因為 k 為有理數,所們我們可以假設:

,其中 a, b 為自然數 ........

此時如果我們進一步假設:

,其中 n 為任意的自然數(因此 x 是一個有理數) ........

正因為 x 是一個有理數,所以存在一個有理數 y ,使得:



代入 式後,可得:



兩邊同時乘 ,可得:



但如果我們仔細觀察上面的式子,我們會發現左邊 是一個「正整數」,右邊 是一個「有理數的完全平方」,因此,這個完全平方一定是個「正整數的完全平方」,所以我們可以得到一個結果:

........

但這個正整數 m 一定比 n 還大,因此我們可以推得:



........

將第 式代入第 式,可得:





所以最後我們得到一個結果:



但這是完全不可能發生的事情,因為 ab 是固定的常數(因為 k 為常數),然而 2n + 1 卻是要多大就可以多大,所以我們得到了一個矛盾。正因為如此,所以 k 不可能大於 0,因此我們得到最後的結論:

k 必為 0 cool



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