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Problem20081109




如右圖,假設 P 為圓外一點,做兩條切線,切圓於 A、B 兩點;另做一條割線,交圓於 X、Z 兩點,交 AB 直線於 Y 點。








貼心小叮嚀:

以下在計算所有的「線段長」時,我們是利用所謂的「有向線段」的觀念。也就是說:如果 的話,那麼 ,所以 不只不等於 ,事實上,

以下,我們開始證明。

從圓的「外冪性質」,我們知道:

........

從圓的「內冪性質」,我們知道:

........

由於 X、Y、Z、P 在同一條線上,所以我們可以將 的「左式」寫成:

........


另外,假設 P 在 AB 直線上的垂足為 C ,那麼我們就可以將 的「右式」寫成:

........

由第 式與第 式,可得:



兩邊減去 後,可得:



兩邊移項後,可得:



但代入第 式:,可得:



兩邊同除



因此可以得到:



最後我們得證:



cool

 

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