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Parabola 20081119




如右圖,A(3, -2) 為固定點, 為拋物線方程式。直線 L 通過 A 點,與拋物線交於 P、Q 兩點, 且我們假設 P、Q 兩點的中點為 M。如果我們讓 L 沿著 A 點繞一圈,M 點的位置也會跟著改變,請問 M 點的軌跡方程式為何?





如右圖,假設 P、Q 兩點的座標分別為


假設 M 點座標為 ( X, Y ),但因為 M 為 P、Q 兩點的中點,所以:
........

........

因為 P、Q 兩點在拋物線上,所以:
........
........

我們計算 式減 式,可得:

分解左式,可得:


除到左邊,可得:
........

但因為 P、Q 和 M、A 都在同一條直線上,所以利用 P、Q 和 M、A 所計算出來的「斜率」是一樣的,因此:
........

現在,我們將第 式與第 式代入第 式,可得:


兩邊約掉 2 後,可得 M 的的軌跡方程式為:





如果你的電腦可以看到下圖的話,你可以:
拖曳圖中的 P 點,來觀察 M 點移動的情形
改變 a 值,來觀察拋物線改變時,對 M 的軌跡的影響
勾選「顯示 M 點軌跡」或「顯示 」來比較 M 點真正的軌跡與軌跡方程式之間的差異。

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