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Integer P20080922




等於一個整數,而且 x 為一個有理數,則 x = ?



假設:
,其中 n 為某整數
兩邊同乘 x ,可得:




利用「一元二次方程式」的公式解,可得:

........

但因為 x 為有理數,n 為整數,所以透過下面的式子:



我們知道:

必為有理數,

此時, 必須是一個整數的「完全平方」,所以我們假設:

,其中 m 為某整數
(我們讓 就好了,因為負整數的平方也可以寫成正整數的平方)

因此:




所以,我們可以列出兩整數相乘等於 4 的所有可能(注意:n + m 大於或等於 n - m )

n + m
4 2 -1 -2
n - m
1 2 -4 -2

解聯立,可得:

n 5/2 (非整數) 2 - 5/2 (非整數) -2
m 3/2 (非整數) 0 3/2 (非整數) 0


所以我們知道 n = 2 或 -2 ,代回 [1] 式,可得:

x = 1 或 -1

從最後這個結果看來: 的解,除了 n = 2 或 -2 的情況之外,竟然都是「無理數」!

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